偏相関係数とは？相関係数との違いと読み方をわかりやすく解説【統計検定2級】

相関係数を学ぶと、

2つの変数に相関がある
相関係数が大きい
正の相関、負の相関

といった見方ができるようになります。

ただ、実際のデータでは、
2変数の見かけ上の相関が、第三の変数の影響で生じている
ことがあります。

そこで使うのが 偏相関係数 です。

偏相関係数は、

他の変数の影響を取り除いたうえでの相関

を見る指標です。

統計検定2級では、定義そのものよりも、

普通の相関係数と何が違うのか
「他の変数を固定する」とはどういう意味か
偏相関係数が小さい・大きいと何が言えるか

を理解しているかが重要です。

この記事で分かること
偏相関係数とは？
1. 相関係数との違い
2. 「他の変数を固定する」とは？
偏相関係数の式
問題（実践編）
1. 解答
2. 解説
偏相関係数が小さくなるとき
偏相関係数が普通の相関係数とあまり変わらないとき
問題（実践編）
1. 解答
2. 解説
重回帰とのつながり
よくあるミス
まとめ
次に読む
練習問題(noteの記事へ）

この記事で分かること

偏相関係数とは何か
相関係数との違い
第三の変数を固定する意味
偏相関係数の計算式
統計検定2級での典型的な問われ方

偏相関係数とは？

偏相関係数とは、

ある2変数の相関を、他の変数の影響を除いて見たもの

です。

たとえば、

$X$ ：勉強時間
$Y$ ：テスト得点
$Z$ ：学力水準

を考えるとします。

勉強時間とテスト得点には相関がありそうですが、
その一部は「もともと学力が高い人ほど勉強時間も得点も高い」という影響かもしれません。

このとき、学力水準 Z の影響を取り除いたうえでの X と Y の関係を見るのが偏相関係数です。

相関係数との違い

普通の相関係数は、

2変数をそのまま比べた相関

です。

一方、偏相関係数は、

第三の変数の影響を取り除いてから見た相関

です。

この違いを表で整理するとこうなります。

指標             何を見るか
相関係数         2変数をそのまま比べた関係
偏相関係数       他の変数の影響を除いたうえでの関係

つまり、偏相関係数は
「本当にこの2変数どうしが直接関係しているのか」
を考えるための指標です。

「他の変数を固定する」とは？

ここが一番大事です。

「他の変数を固定する」といっても、
実際に全員の $Z$ を同じ値にするわけではありません。

考え方としては、

$X$ から $Z$ の影響を取り除く
$Y$ から $Z$ の影響を取り除く
残った部分どうしの相関を見る

というイメージです。

つまり、偏相関係数は

Z で説明できる部分を除いた残差どうしの相関

と考えると理解しやすいです。

偏相関係数の式

3変数 $X, Y, Z$ の偏相関係数 $r_{XY \cdot Z}$ は、相関係数を使って

rXY・Z = (rXY - rXZ rYZ) / √[(1-rXZ²)(1-rYZ²)]

で求められます。

ここで、

$r_{XY}$ ： $X$ と $Y$ の相関係数
$r_{XZ}$ ： $X$ と $Z$ の相関係数
$r_{YZ}$ ： $Y$ と $Z$ の相関係数

です。

式は少し長いですが、統計検定2級では
値を代入して計算できるか
がまず重要です。

問題（実践編）

ある3変数 $X, Y, Z$ について、相関係数が次のように得られた。

rXY = 0.70
rXZ = 0.40
rYZ = 0.50

このとき、偏相関係数 $r_{XY \cdot Z}$ として最も近いものを、次の 1〜5 から1つ選べ。

0.42
0.58
0.70
0.84
1.02

解答

解説

偏相関係数の公式は

rXY・Z = (rXY - rXZ rYZ) / √[(1-rXZ²)(1-rYZ²)]

である。

与えられた値を代入すると、分子は

0.70 - 0.40×0.50 = 0.70 - 0.20 = 0.50

となる。

次に分母を計算する。

1 - rXZ² = 1 - 0.40² = 1 - 0.16 = 0.84
1 - rYZ² = 1 - 0.50² = 1 - 0.25 = 0.75

したがって、

√(0.84×0.75) = √0.63 ≈ 0.794

となる。

よって偏相関係数は

0.50 / 0.794 ≈ 0.63

となる。

選択肢の中では 0.58 が最も近いので、正解は 2。

この問題で重要なのは、
普通の相関係数 0.70 よりも小さい値になることがある
という点である。

つまり、 $X$ と $Y$ の相関の一部は、 $Z$ の影響によって説明されていた可能性がある。

偏相関係数が小さくなるとき

普通の相関係数は大きいのに、偏相関係数が小さいときは、

見かけ上の相関のかなりの部分が、第三の変数によるものだった

と考えられます。

つまり、
「 $X$ と $Y$ が直接強く結びついている」というより、
「 $Z$ を通じて一緒に動いていた」可能性があります。

偏相関係数が普通の相関係数とあまり変わらないとき

逆に、偏相関係数が普通の相関係数とあまり変わらないなら、

第三の変数の影響を除いても、X と Y の関係がしっかり残る

と考えられます。

この場合、 $X$ と $Y$ の関係は比較的直接的だと解釈しやすいです。

問題（実践編）

あるデータで、2変数 $X$ と $Y$ の相関係数は 0.80 であった。
しかし、第三の変数 $Z$ を統制した偏相関係数は 0.10 であった。
この結果の解釈として最も適切なものを、次の 1〜5 から1つ選べ。

$X$ と $Y$ の関係は、 $Z$ の影響を除くとかなり弱い
$X$ と $Y$ の関係は、 $Z$ の影響を除くとさらに強くなる
$X$ と $Y$ の相関は必ず因果関係を表す
$Z$ は $X$ とも $Y$ とも無関係である
偏相関係数は必ず普通の相関係数より大きくなる

解答

解説

普通の相関係数が 0.80 と大きいのに、偏相関係数が 0.10 とかなり小さくなっている。
これは、

X と Y の見かけ上の強い相関の多くが、第三の変数 Z の影響によるものだった

ことを示唆する。

したがって、 $Z$ の影響を除くと、 $X$ と $Y$ の直接的な関係はかなり弱いと考えられる。

よって正解は 1。

ここで注意したいのは、偏相関係数は
因果関係そのものを証明する指標ではない
という点である。
また、偏相関係数が必ず普通の相関係数より大きい、または小さい、という決まりもない。

重回帰とのつながり

偏相関係数は、重回帰分析とも深く関係しています。

重回帰では、ある説明変数の効果を見るときに、

他の説明変数の影響を調整したうえでの関係

を見ています。

この意味で、偏相関係数の考え方は
重回帰モデルの読み方の基礎
にもなります。

よくあるミス

偏相関係数を、普通の相関係数と同じ意味で読んでしまう
→ 偏相関係数は「他の変数の影響を除いたあと」の相関である。
「固定する」を、全員を同じ値にすることだと思ってしまう
→ 実際には、他の変数で説明される部分を取り除くイメージである。
偏相関係数が小さいと、まったく無関係だと決めつける
→ 小さいことは関係が弱いことを示すが、標本誤差や有意性は別に考える必要がある。
相関と因果を混同する
→ 偏相関係数も、因果関係そのものを証明するものではない。

👇公式問題集はこちら

[商品価格に関しましては、リンクが作成された時点と現時点で情報が変更されている場合がございます。]

👇おすすめの参考書

まとめ

偏相関係数は、他の変数の影響を除いたうえでの相関
普通の相関係数との違いは、第三の変数を調整するかどうか
偏相関係数が小さくなると、見かけ上の相関の一部が他の変数によるものだったと考えられる
偏相関係数は、重回帰分析の考え方とも深くつながっている
統計検定2級では、式への代入計算 と 結果の解釈 の両方が重要

次に読む

練習問題(noteの記事へ）

関連する問題をまとめて練習したい方へ：
統計検定2級問題演習ドリル10問＋解説