相関係数の検定とは？無相関の検定をわかりやすく解説【統計検定2級】

2変数の関係を見るとき、まず思い浮かぶのが 相関係数 です。
ただ、相関係数を計算しただけでは、

本当に関係があるのか
たまたまそう見えただけなのか
標本の偶然ではないのか

までは分かりません。

そこで使うのが 相関係数の検定 です。

統計検定2級では、

帰無仮説は何か
何を検定しているのか
有意な相関とはどういう意味か

が問われやすいです。

この記事で分かること

相関係数の検定が何を調べる検定か
帰無仮説と対立仮説
検定統計量の考え方
有意な相関の意味
よくある誤解

相関係数の検定とは？

相関係数の検定は、

母相関係数が 0 かどうか

を調べる検定です。

つまり、標本で見えている相関が、

本当に母集団にもあるのか
それとも標本の偶然なのか

を判断します。

帰無仮説と対立仮説

相関係数の検定では、通常

H0：母相関係数 r=0
H1：母相関係数 r≠0

とします。

これは、
「母集団では無相関である」
という帰無仮説を棄却できるか、という形です。

「相関係数が大きい」だけでは不十分

ここが大事です。

たとえば標本相関係数 $r = 0.6$ だったとしても、

標本数が非常に小さいなら偶然かもしれない
標本数が大きければ有意になりやすい

という違いがあります。

つまり、相関係数の大きさだけでは足りず、標本サイズも必要です。

問題1

ある2変数 $X, Y$ X,Y について、標本相関係数を求めたところ $r = 0.58$ であった。
この結果について、最も適切な説明はどれか。
A. これだけで母集団でも必ず相関があると言える
B. これだけで回帰式が有意だと言える
C. 標本数も考えないと、相関が有意かどうかは判断できない
D. 相関係数が正なので、因果関係があると言える

解答

解説

標本相関係数 $r$ が 0.58 でも、

標本数が少なければ偶然の可能性がある
標本数が多ければ有意になる可能性が高い

ので、相関係数の値だけでは有意性は判断できません。

また、

相関がある → 因果関係がある
ではありません。

検定統計量

母相関係数r=0を検定するとき、検定統計量は次です。

t = r √(n - 2) / √(1 - r²)

この統計量は、帰無仮説のもとで 自由度 n−2 の t分布 に従います。

自由度が n−2 になる理由

相関係数の検定では、自由度は

n - 2

です。

これは、2変数の関係を直線で表すときに、実質的に2つ分の情報を使っているためです。
統計検定2級では、まずは

相関係数の検定の自由度は n−2

と押さえておけば十分です。

問題2

標本数 $n = 12$ 、標本相関係数 $r = 0.50$ のとき、相関係数の検定で使う自由度はいくつか。
A. 10
B. 11
C. 12
D. 9

解答

解説

相関係数の検定では自由度は

n - 2

なので、

12 - 2 = 10

です。

有意な相関とはどういう意味か

相関係数の検定で有意になるというのは、

母集団で無相関とは考えにくい

という意味です。

ただし、これは

因果関係がある
強い関係がある
実務的に重要である

ことまで保証するものではありません。

問題3

相関係数の検定で帰無仮説が棄却されたとき、最も適切な解釈はどれか。
A. 2変数の間に因果関係がある
B. 母相関係数は 0 ではないと考えられる
C. 相関係数は必ず 1 に近い
D. 直線関係が完全に成立している

解答

解説

帰無仮説が棄却されたときに言えるのは、

母相関係数は 0 ではないと考えられる

ということです。

ただし、

因果関係
完全な直線関係
非常に強い関係

までは言えません。

単回帰との関係

相関係数の検定は、単回帰とも深くつながっています。

単回帰では、

傾きの t検定
相関係数の検定

が本質的に同じ意味を持ちます。

つまり、

相関係数が有意
⇔
回帰直線の傾きが有意

です。

ここは統計検定2級でもよく問われます。

相関係数が高くても有意でないことはある？

あります。
特に 標本数が少ないとき は起こります。

逆に、相関係数がそれほど大きくなくても、標本数が非常に大きければ有意 になることもあります。

つまり、相関の検定では

相関の大きさ
標本サイズ

の両方が重要です。

よくあるミス

相関係数が大きい = 必ず有意、と思ってしまう
→ 標本数も必要です。
有意な相関 = 因果関係あり、と思ってしまう
→ 相関と因果は別です。
有意 = 強い相関、と決めつける
→ 有意性と強さは別です。
自由度を n−1 としてしまう
→ 相関係数の検定では n−2 です。

追加練習

ある2変量データについて、標本数 $n=12$ 、標本相関係数 $r=0.60$ であった。
母相関係数 $\rho=0$ を帰無仮説として、有意水準5%の両側検定を行う。
検定統計量 $t$ と結論の組として最も適切なものを、次の 1〜4 のうちから1つ選べ。

$t \approx 1.88$ であり、帰無仮説は棄却できない
$t \approx 2.37$ であり、帰無仮説は棄却する
$t \approx 2.37$ であり、帰無仮説は棄却できない
$t \approx 3.00$ であり、帰無仮説は棄却する

解答

解説

相関係数の検定では、検定統計量は

t = r√(n-2) / √(1-r²)

で与えられ、自由度は

n - 2

である。

今回は

n = 12, r = 0.60

なので、

t = 0.60√10 / √(1-0.36)
  = 0.60√10 / √0.64
  = 0.60×3.162 / 0.8
  ≈ 1.897 / 0.8
  ≈ 2.37

したがって、検定統計量は

t ≈ 2.37

となる。

自由度は

12 - 2 = 10

である。
有意水準5%の両側検定では、t分布表より自由度10、上側確率0.025の臨界値は約

2.228

である。

したがって

|t| = 2.37 > 2.228

より、帰無仮説 $H_0:\rho=0$ は棄却される。
つまり、母相関係数は 0 ではないと考えられる。

よって正解は 2。

まとめ

相関係数の検定は、母相関係数が0かどうか を調べる
帰無仮説は

H0: r = 0

検定統計量は t分布に従い、自由度は

n - 2

有意でも、因果関係まで言えるわけではない
単回帰の傾きの検定と深くつながっている

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