分散分析（ANOVA）とは？群間変動と群内変動をわかりやすく解説【統計検定2級】

統計検定2級で 分散分析（ANOVA）が出てくると、

平均を比べたいのに、なぜ「分散分析」なのか
群間変動と群内変動とは何か
F値は何を表しているのか

で混乱しやすいです。

名前に「分散」と入っていますが、分散分析の目的は
複数の群の平均に差があるかを調べること
です。

この記事では、

分散分析の考え方
群間変動と群内変動
F値の意味
よくあるミス

を整理します。

この記事で分かること

分散分析が何をする検定か
群間変動と群内変動の違い
F値が大きいと何を意味するか
なぜ平均の差を見るのに分散を使うのか
統計検定2級での基本的な見方

分散分析とは？

分散分析（ANOVA）は、

3群以上の平均に差があるかどうかを調べる方法

です。

たとえば、

3種類の勉強法で平均点に差があるか
4種類の肥料で平均収穫量に差があるか
複数の薬剤で平均効果に差があるか

のような場面で使います。

なぜ「平均の差」を見るのに「分散」を使うのか？

ここが一番大事です。

分散分析では、平均そのものを直接比べるのではなく、

群ごとの平均のばらつき
同じ群の中でのばらつき

を比べます。

もし本当に群の平均に差があるなら、

群どうしの平均は大きく離れるはず
一方で、各群の中のばらつきに比べて、その差が十分大きいはず

という考え方です。

つまり、分散分析では

群どうしの差が、群内のばらつきに比べて十分大きいか

を見ています。

群間変動と群内変動

分散分析では、ばらつきを2つに分けて考えます。

群間変動

各群の平均が、全体平均からどれくらい離れているか

→ 群どうしの違いの大きさ

群内変動

同じ群の中で、各データが群平均からどれくらい離れているか

→ もともとの個体差・誤差の大きさ

イメージ

たとえば、3つのクラス A, B, C のテスト点数を比べるとします。

A, B, C の平均点がかなり違う
→ 群間変動が大きい
各クラスの中では点数があまり散らばっていない
→ 群内変動が小さい

このとき、
「クラスによって平均点が違う」と言えそう
です。

逆に、

クラス平均は少し違っても
各クラス内のばらつきが非常に大きい

なら、その差は偶然かもしれません。

問題（類似問題①）

分散分析で「群間変動」が大きいとは、どういう状態か。
A. 同じ群の中でデータがよく散らばっている
B. 各群の平均が全体平均から大きく離れている
C. 全データがまったく同じ値である
D. 自由度が大きい

解答

解説

群間変動は、
各群の平均が全体平均からどれだけ離れているか
を表します。

つまり、群間変動が大きいということは、
群どうしの平均差が大きい ということです。

F値とは？

分散分析では、次の比を考えます。

F値 = 群間変動 ÷ 群内変動

厳密には平均平方を使いますが、基本の考え方はこれで十分です。

つまり、

群間変動が大きい
群内変動が小さい

ほど、F値は大きくなります。

F分布については以下の記事でも解説しています。

F分布とは？形・自由度・使い方をわかりやすく解説【統計検定2級】

F値が大きいと何が言える？

F値が大きいということは、

群どうしの平均差が、群の中のばらつきに比べて大きい

ということです。

したがって、

少なくともどこかの群平均は他と違いそう

と考えます。

ここで大事なのは、

分散分析は 「全部同じ」とは言えない ことを調べる
どの群とどの群が違うか までは、この段階では分からない

という点です。

帰無仮説と対立仮説

1元配置分散分析では、通常

H0：すべての群平均は等しい
H1：少なくとも1つの群平均は異なる

とします。

ここで注意したいのは、対立仮説が

「全部違う」

ではないことです。

あくまで、

「少なくとも1つは違う」

です。

問題（類似問題②）

分散分析で帰無仮説を棄却したとき、言えることとして最も適切なのはどれか。
A. すべての群平均が異なる
B. 少なくとも1つの群平均が他と異なる
C. 群内変動が0である
D. すべての群平均が等しい

解答

解説

分散分析で帰無仮説を棄却しても、
「どの群が違うか」 や 「全部違うか」 までは分かりません。

分かるのは、

少なくとも1つの群平均が他と異なる

ということです。

分散分析表（ANOVA表）の見方

統計検定2級では、分散分析表の意味を問われることがあります。

代表的な形は次の通りです。

要因	平方和	自由度	平均平方	F値
群間	SSB	k−1	MSB	MSB / MSW
群内	SSW	N−k	MSW	–

ここでは、まず

群間：平均差に関するばらつき
群内：各群の中のばらつき

という意味が分かれば十分です。

自由度の基本

1元配置分散分析では、

群間の自由度：

k - 1

群内の自由度：

N - k

です。

ここで、

k：群の数
N：全体のデータ数

です。

よくあるミス

分散分析は「全部の平均が違う」と調べるものだと思ってしまう
→ 正しくは、少なくとも1つ違うか を調べます。
F値が大きい = 群内変動が大きい、と思ってしまう
→ F値が大きいのは、群間変動が群内変動より大きい ときです。
平均を比べるのに、分散を見ている理由が分からない
→ 「平均差が、もともとのばらつきに比べて十分大きいか」を見ているからです。
帰無仮説を棄却したら、どの群が違うかも分かると思ってしまう
→ それは事後比較の話で、分散分析だけでは分かりません。

追加練習

ある学習法 A, B, C の効果を比較するために、各学習法を用いた受験者4名ずつの得点を調べたところ、次の結果を得た。

A：8, 9, 10, 9
B：10, 11, 12, 11
C：12, 13, 14, 13

このとき、3群の平均が等しいという帰無仮説を、1元配置分散分析によって有意水準5%で検討する。
分散分析による F値として最も適切なものを、次の 1〜4 のうちから1つ選べ。

$F = 6.00$
$F = 12.00$
$F = 18.00$
$F = 24.00$

解答

解説

各群の平均は

A群：9
B群：11
C群：13

全体平均は

(9 + 11 + 13) / 3 = 11

群間平方和は

SSB = 4(9-11)² + 4(11-11)² + 4(13-11)²
= 4×4 + 0 + 4×4
= 16 + 16
= 32

群内平方和は

A群：

(8-9)² + (9-9)² + (10-9)² + (9-9)² = 2

B群：

(10-11)² + (11-11)² + (12-11)² + (11-11)² = 2

C群：

(12-13)² + (13-13)² + (14-13)² + (13-13)² = 2

したがって

SSW = 2 + 2 + 2 = 6

自由度は

群間自由度：

3 - 1 = 2

群内自由度：

12 - 3 = 9

したがって平均平方は

MSB = 32 / 2 = 16
MSW = 6 / 9 = 2/3

よって F値は

F = 16 / (2/3) = 24

となる。
したがって正解は 4。

まとめ

分散分析は、3群以上の平均差 を調べる方法
見ているのは
群間変動 ÷ 群内変動
F値が大きいほど、平均差がありそう
帰無仮説は
「すべての群平均は等しい」
棄却しても、どの群が違うか まではこの段階では分からない

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