決定係数 R^2とは？意味と読み方を回帰分析の出力例で解説【統計検定2級】

回帰分析の結果を見ると、よく 決定係数 $R^2$ が出てきます。

ただ、ここで多くの人が混乱します。

$R^2=0.8$ なら何が言えるのか
相関係数とどう違うのか
値が大きければ必ず良いモデルなのか

統計検定2級では、
「決定係数の意味を正しく読めるか」
がかなり重要です。

この記事では、

決定係数の意味
出力表の読み方
相関係数との違い
よくある誤解

を、過去問で出やすい形式に寄せて整理します。

この記事で分かること

決定係数 $R^2$ の意味
$R^2$ が大きい/小さいと何が言えるか
相関係数との違い
単回帰と重回帰での見方
統計検定2級での典型的な問われ方

決定係数 R2R^2とは？

決定係数 $R^2$ は、

目的変数のばらつきのうち、回帰式で説明できた割合

を表します。

たとえば、

R² = 0.64

なら、

目的変数のばらつきの64%を、この回帰式で説明できている

と読みます。

「説明できた割合」とはどういうことか

回帰分析では、目的変数 $y$ y のばらつきを

回帰式で説明できる部分
説明できずに残った部分

に分けて考えます。

決定係数 $R^2$ は、そのうち

説明できた部分 ÷ 全体のばらつき

です。

だから、値の範囲は

0 ～ 1

になります。

値の読み方

R2R^2が 1 に近いとき

回帰式でかなりよく説明できている
データが回帰直線（または回帰平面）によく沿っている

R2R^2が 0 に近いとき

回帰式であまり説明できていない
データのばらつきが大きく、説明変数だけでは捉えにくい

問題1

ある単回帰分析の結果、次の出力が得られた。

項目	値
重相関 R	0.80
決定係数 R²	0.64

この結果の解釈として最も適切なのはどれか。
A. 説明変数が目的変数を 80% 説明している
B. 目的変数のばらつきの 64% を回帰式で説明できている
C. 回帰式の予測は必ず正しい
D. 説明できないばらつきは存在しない

解答

解説

決定係数 $R^2 = 0.64$ の意味は、

目的変数のばらつきの64%を回帰式で説明できている

です。

A は相関係数 $R=0.80$ をそのまま説明率と誤解しています。
C や D も言いすぎです。
$R^2$ が 1 未満なら、説明できないばらつきも残っています。

単回帰では R2=r2R^2 = r^2R2=r2

単回帰では、決定係数 $R^2$ は 相関係数 rの2乗 になります。

たとえば、

r = 0.8

なら、

R² = 0.8² = 0.64

です。

ここは統計検定2級でかなりよく問われます。

ただし、相関係数と決定係数は同じではない

相関係数 $r$ は、

方向（正か負か）
強さ

を持っています。

一方、決定係数 $R^2$ は 2乗している ので、

常に 0以上
方向の情報は消える

という違いがあります。

たとえば、

r = -0.8

でも、

R² = 0.64

です。

つまり、 $R^2$ だけ見ても、正の関係か負の関係かは分かりません。

問題2

相関係数が $-0.7$ のとき、単回帰における決定係数として正しいものはどれか。
A. $-0.7$
B. $-0.49$
C. $0.49$
D. $0.70$

解答

解説

単回帰では

R² = r²

なので、

(-0.7)² = 0.49

です。

決定係数は負になりません。

決定係数が高ければ必ず良いモデルか？

ここもよく問われます。
結論から言うと、必ずしもそうではありません。

理由は次の通りです。

たまたまデータに強く当てはまっているだけかもしれない
外れ値の影響を受けているかもしれない
説明変数を増やすと $R^2$ は上がりやすい
因果関係まで示すものではない

つまり、 $R^2$ は重要な指標ですが、
それだけでモデルの良し悪しを決めることはできません。

重回帰では「調整済み決定係数」にも注意

重回帰では、説明変数を増やすと $R^2$ は基本的に下がりません。
そのため、単純な $R^2$ だけだと「変数を増やしただけ」で良く見えてしまうことがあります。

そこで使われるのが 調整済み決定係数 です。

統計検定2級では、

$R^2$ ：説明できた割合
調整済み $R^2$ ：説明変数の数を考慮した指標

くらいの理解で十分です。

回帰出力ではどこを見るか

回帰分析の出力では、よく次のような項目が並びます。

項目	意味
重相関 R	相関の強さ（単回帰では相関係数に対応）
決定係数 R²	説明できた割合
調整済み R²	説明変数の数を調整した説明率

問題3

重回帰分析の結果、決定係数 $R^2 = 0.72$ であった。
この結果から言えることとして最も適切なのはどれか。
A. 目的変数のばらつきの72%を回帰式で説明できている
B. 各説明変数がすべて有意である
C. 目的変数の72%を正確に予測できる
D. 残差は存在しない

解答

解説

$R^2 = 0.72$ は、

目的変数のばらつきの72%を回帰式で説明できている

という意味です。

ただし、それだけで

各説明変数が有意
予測が正確
残差がない

とは言えません。

よくあるミス

相関係数と決定係数を同じものだと思ってしまう
→ 単回帰では関係がありますが、意味は違います。
$R^2$ =0.8を「80%当たる」と読んでしまう
→ 予測の正答率ではありません。説明できたばらつきの割合です。
決定係数だけでモデルの良し悪しを判断してしまう
→ p値、F検定、残差、変数数なども見る必要があります。
負の相関なら決定係数も負になると思ってしまう
→ 決定係数は 0以上です。

追加練習

ある単回帰分析の結果、説明変数 $x$ x と目的変数 $y$ について、標本相関係数が $r=-0.70$ であった。
このとき、決定係数 $R^2$ の値と、その解釈として最も適切なものを、次の 1〜4 のうちから1つ選べ。

$R^2 = -0.49$ であり、目的変数のばらつきの49%を説明できていない
$R^2 = 0.49$ であり、目的変数のばらつきの49%を回帰式で説明できている
$R^2 = 0.70$ であり、目的変数の70%を正確に予測できる
$R^2 = -0.70$ であり、負の相関なので決定係数も負になる

解答

解説

単回帰では、決定係数 $R^2$ は標本相関係数 $r$ の2乗である。

R² = r²

したがって今回は

R² = (-0.70)² = 0.49

となる。

決定係数 $R^2$ は、

目的変数のばらつきのうち、回帰式で説明できた割合

を表す。
したがって

R² = 0.49

なら、

目的変数のばらつきの49%を、この回帰式で説明できている

と解釈する。

ここで注意したいのは、相関係数が負であっても、決定係数は2乗するので負にならないことである。
また、決定係数は「予測の正答率」ではないので、
「70%を正確に予測できる」といった解釈は誤りである。

よって正解は 2。

まとめ

決定係数 $R^2$ は、目的変数のばらつきのうち説明できた割合
単回帰では

R² = r²

決定係数は 0以上1以下
$R^2$ だけでモデルの良し悪しは決められない
重回帰では調整済み決定係数も重要

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