χ²検定には、代表的に次の2つがあります。
- 独立性の検定
- 適合度検定
前回は「独立性の検定」で期待度数をどう求めるかを見ました。
今回はもう一つの重要テーマ、適合度検定 を整理します。
適合度検定では、
- サイコロは公平と言えるか
- 男女比は理論値どおりか
- 曜日ごとの人数は一様とみなせるか
のように、観測された度数が、ある理論的な割合に合っているか を調べます。
この記事で分かること
- 適合度検定とは何か
- 期待度数の求め方
- χ²統計量の計算方法
- 自由度の考え方
- 独立性の検定との違い
適合度検定とは？
適合度検定とは、
観測された度数が、ある理論分布や期待される割合に適合しているか
を調べる検定です。
たとえば、
- サイコロなら各目が 1/6ずつ
- 男女比なら 1:1
- 3つの選択肢なら 2:3:5
のように、あらかじめ比率が決まっている 場面で使います。
独立性の検定との違い
ここは混同しやすいので、最初に整理しておきます。
| 検定 | 見るもの | 期待度数の作り方 |
|---|---|---|
| 適合度検定 | 理論的な割合に合っているか | 総数 × 理論割合 |
| 独立性の検定 | 2つの属性が独立か | 行合計 × 列合計 ÷ 総数 |
つまり、適合度検定では 最初から理論割合が与えられている のがポイントです。
期待度数の求め方
適合度検定では、期待度数は
期待度数 = 総数 × 理論割合
で求めます。
たとえば、総数が 120 人で、理論割合が
- A：0.5
- B：0.3
- C：0.2
なら、期待度数は
- A：120 × 0.5 = 60
- B：120 × 0.3 = 36
- C：120 × 0.2 = 24
です。
問題（類似問題）
あるアンケートで、3つの選択肢 A, B, C の回答者数を調べたところ、次の結果が得られた。
| 選択肢 | 観測度数 | 理論割合 |
|---|---|---|
| A | 54 | 0.5 |
| B | 42 | 0.3 |
| C | 24 | 0.2 |
総数は 120 人である。
問1：A, B, C の期待度数を求めてください。
解答
- A：60
- B：36
- C：24
解説
期待度数は
総数 × 理論割合
なので、
- A：120 × 0.5 = 60
- B：120 × 0.3 = 36
- C：120 × 0.2 = 24
です。
χ²統計量の求め方
χ²統計量は、各カテゴリについて
（観測度数 − 期待度数）² ÷ 期待度数
を計算し、それを全部足します。
今回の例では、
- A：
(54 - 60)² / 60 = 36 / 60 = 0.6
- B：
(42 - 36)² / 36 = 36 / 36 = 1.0
- C：
(24 - 24)² / 24 = 0
なので、
χ² = 0.6 + 1.0 + 0 = 1.6
です。
自由度の求め方
適合度検定の自由度は、基本的に
カテゴリ数 - 1
です。
今回の例ではカテゴリが A, B, C の3つなので、
3 - 1 = 2
で、自由度は 2 です。
なぜ自由度は「カテゴリ数−1」なのか
期待度数は総数に合わせて作るので、
最後の1つは他が決まると自動的に決まります。
たとえば3カテゴリなら、
- 最初の2つが決まれば
- 最後の1つは総数に合わせて決まる
ので、自由に動けるのは 2つ分 です。
だから、自由度は
カテゴリ数 - 1
になります。
問題（類似問題②）
χ²適合度検定における期待度数の求め方として正しいものはどれか。
A. 行合計 × 列合計 ÷ 総数
B. 総数 × 理論割合
C. 観測度数の平均
D. 観測度数 − 理論割合
解答
B
解説
適合度検定では、期待度数は
総数 × 理論割合
で求めます。
A は独立性の検定の期待度数の式です。
χ²分布表での判定
検定統計量が求まったら、
自由度に応じて χ²分布表 と比べます。
今回の例では
- χ² = 1.6
- 自由度 = 2
です。
たとえば有意水準5%なら、自由度2の臨界値は
5.991
です。
今回の 1.6 はこれより小さいので、
帰無仮説は棄却できない
となります。
つまり、観測された度数は理論割合と大きく矛盾していない、と考えます。
よくあるミス
- 期待度数を観測度数から作ってしまう
→ 適合度検定では、期待度数は理論割合から作ります。 - 独立性の検定の式を使ってしまう
→ 行合計×列合計÷総数 は独立性の検定です。 - 自由度をカテゴリ数にしてしまう
→ 自由度は カテゴリ数−1 です。 - χ²値が小さいと「差がある」と思ってしまう
→ χ²値が大きいほど、観測度数と期待度数のズレが大きいです。
追加練習
あるサイコロを 60 回投げたところ、出た目の度数は次のようであった。
1: 8
2: 9
3: 11
4: 12
5: 10
6: 10このサイコロが公平であるという帰無仮説を、χ²適合度検定によって有意水準5%で検討する。
このとき、検定統計量 χ² と結論の組として最も適切なものを、次の 1〜4 のうちから1つ選べ。
- χ² = 1.00 であり、帰無仮説は棄却できない
- χ² = 2.40 であり、帰無仮説は棄却する
- χ² = 4.00 であり、帰無仮説は棄却する
- χ² = 5.20 であり、帰無仮説は棄却する
解答
1
解説
公平なサイコロであれば、各目の期待度数は
60 × 1/6 = 10である。
したがって χ²統計量は
(8-10)²/10 + (9-10)²/10 + (11-10)²/10
+ (12-10)²/10 + (10-10)²/10 + (10-10)²/10となる。
各項は
4/10, 1/10, 1/10, 4/10, 0, 0なので、合計は
0.4 + 0.1 + 0.1 + 0.4 = 1.0したがって
χ² = 1.00である。
自由度は
カテゴリ数 - 1 = 6 - 1 = 5である。
有意水準5%で自由度5の χ²分布表の臨界値は約
11.07なので、
1.00 < 11.07より、帰無仮説は棄却できない。
つまり、この結果だけでは「このサイコロは公平ではない」とまでは言えない。
よって正解は 1。
まとめ
- 適合度検定は、観測度数が理論割合に合っているかを見る検定
- 期待度数は
総数 × 理論割合
で求める
- χ²統計量は
（観測度数 − 期待度数）² ÷ 期待度数
を全部足す
- 自由度は
カテゴリ数 - 1
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